बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(i)$ टक्कर के कारण गैस के अणुओं का घनत्व बदल जाता है।
$(ii)$ समान तापमान पर प्रत्येक गैस के $1 \ g$ द्रव्यमान की औसत गतिज ऊर्जा समान होती है।
$(iii)$ समान तापमान पर दो अलग-अलग गैसों का $v_{rms}$ समान होता है।
$(iv)$ स्थिर तापमान पर यदि गैस का दबाव बढ़ाया जाता है,तो उसका माध्य मुक्त पथ (mean free path) घट जाता है।
$(i)$ टक्कर के कारण गैस के अणुओं का घनत्व बदल जाता है।
$(ii)$ समान तापमान पर प्रत्येक गैस के $1 \ g$ द्रव्यमान की औसत गतिज ऊर्जा समान होती है।
$(iii)$ समान तापमान पर दो अलग-अलग गैसों का $v_{rms}$ समान होता है।
$(iv)$ स्थिर तापमान पर यदि गैस का दबाव बढ़ाया जाता है,तो उसका माध्य मुक्त पथ (mean free path) घट जाता है।
(D) $(i)$ असत्य। गैस के अणुओं के बीच टक्कर से अणुओं की कुल संख्या या पात्र का आयतन नहीं बदलता है,इसलिए घनत्व स्थिर रहता है।
$(ii)$ असत्य। प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है $(KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T)$। हालाँकि,निश्चित द्रव्यमान $(1 \ g)$ की औसत गतिज ऊर्जा गैस के मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करती है $(KE_{total} = \frac{m}{M} \frac{3}{2} RT)$,जो अलग-अलग गैसों के लिए भिन्न होती है।
$(iii)$ असत्य। वर्ग माध्य मूल वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है। चूंकि $v_{rms}$ मोलर द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करता है,इसलिए समान तापमान पर अलग-अलग गैसों के लिए यह भिन्न होता है।
$(iv)$ सत्य। माध्य मुक्त पथ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ है। चूंकि $\lambda \propto \frac{1}{P}$,इसलिए स्थिर तापमान पर दबाव बढ़ाने से माध्य मुक्त पथ कम हो जाता है।
$(ii)$ असत्य। प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है $(KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T)$। हालाँकि,निश्चित द्रव्यमान $(1 \ g)$ की औसत गतिज ऊर्जा गैस के मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करती है $(KE_{total} = \frac{m}{M} \frac{3}{2} RT)$,जो अलग-अलग गैसों के लिए भिन्न होती है।
$(iii)$ असत्य। वर्ग माध्य मूल वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है। चूंकि $v_{rms}$ मोलर द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करता है,इसलिए समान तापमान पर अलग-अलग गैसों के लिए यह भिन्न होता है।
$(iv)$ सत्य। माध्य मुक्त पथ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ है। चूंकि $\lambda \propto \frac{1}{P}$,इसलिए स्थिर तापमान पर दबाव बढ़ाने से माध्य मुक्त पथ कम हो जाता है।
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$1.$ पिस्टन को अब धीरे-धीरे बाहर खींचा जाता है और शीर्ष से $2L$ दूरी पर रखा जाता है। तब बेलन में इसके शीर्ष और पिस्टन के बीच का दबाव होगा
$(A) P_0$ $(B) \frac{P_0}{2}$ $(C) \frac{P_0}{2} + \frac{Mg}{\pi R^2}$ $(D) \frac{P_0}{2} - \frac{Mg}{\pi R^2}$
$2.$ जब पिस्टन शीर्ष से $2L$ दूरी पर होता है,तो शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। पिस्टन को फिर एक ऐसी स्थिति में छोड़ा जाता है जहाँ वह संतुलन में रह सके। इस स्थिति में,शीर्ष से पिस्टन की दूरी है
$(A) \left(\frac{2P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 + Mg}\right)(2L)$ $(B) \left(\frac{P_0 \pi R^2 - Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(C) \left(\frac{P_0 \pi R^2 + Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(D) \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$
$3.$ पिस्टन को बेलन से पूरी तरह बाहर निकाल लिया जाता है। शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। एक पानी की टंकी को बेलन के नीचे लाया जाता है और ऐसी स्थिति में रखा जाता है कि टंकी में पानी की सतह बेलन के शीर्ष के समान स्तर पर हो,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पानी का घनत्व $\rho$ है। संतुलन में,बेलन में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $H$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करती है?
$(A) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
$(B) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(C) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(D) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ पिस्टन को अब धीरे-धीरे बाहर खींचा जाता है और शीर्ष से $2L$ दूरी पर रखा जाता है। तब बेलन में इसके शीर्ष और पिस्टन के बीच का दबाव होगा
$(A) P_0$ $(B) \frac{P_0}{2}$ $(C) \frac{P_0}{2} + \frac{Mg}{\pi R^2}$ $(D) \frac{P_0}{2} - \frac{Mg}{\pi R^2}$
$2.$ जब पिस्टन शीर्ष से $2L$ दूरी पर होता है,तो शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। पिस्टन को फिर एक ऐसी स्थिति में छोड़ा जाता है जहाँ वह संतुलन में रह सके। इस स्थिति में,शीर्ष से पिस्टन की दूरी है
$(A) \left(\frac{2P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 + Mg}\right)(2L)$ $(B) \left(\frac{P_0 \pi R^2 - Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(C) \left(\frac{P_0 \pi R^2 + Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(D) \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$
$3.$ पिस्टन को बेलन से पूरी तरह बाहर निकाल लिया जाता है। शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। एक पानी की टंकी को बेलन के नीचे लाया जाता है और ऐसी स्थिति में रखा जाता है कि टंकी में पानी की सतह बेलन के शीर्ष के समान स्तर पर हो,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पानी का घनत्व $\rho$ है। संतुलन में,बेलन में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $H$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करती है?
$(A) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
$(B) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(C) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
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प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
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